Een meetkundig duel

Puzzel:
In een rechthoek van 8 bij 4 tekenen we een halve cirkel met als diameter een lange zijde van de rechthoek. Vervolgens tekenen we een diagonaal van de rechthoek, zodat onderstaande afbeelding ontstaat. In deze afbeelding moeten we de oppervlakte van het rode gebied berekenen.

Achtergrond:
Een leerling uit 4 VWO had dit probleem op YouTube gezien. Hij besloot mij en een klasgenoot uit te dagen wie hem het snelste kon oplossen. Ik zal zo eerlijk zijn om te erkennen dat ik ruim een uur nodig had voordat ik het probleem had opgelost. Dat bleek echter snel genoeg om de uitdaging te winnen, omdat mijn uitdager een rekenfout had gemaakt.

Lees verder Een meetkundig duel

Getal keer wortel

Puzzel:
Schrijf 5\sqrt{3} in de vorm \sqrt{n} waarbij je voor n een getal moet invullen.

Achtergrond:
Gisteren hadden twee leerlingen uit 4 VWO een discussie over deze vraag. Dit kwam doordat ze allebei op een ander fout antwoorden waren uitgekomen. Vandaag heb ik deze vraag in al mijn klassen getest. Het leverde veel meer foute antwoorden op dan ik had verwacht. De meest gemaakte fout was echter een andere dan ik verwacht had. Een leuke bonusvraag is dus: “Welk fout antwoord denk je dat het meeste voorkomt?”

Lees verder Getal keer wortel

Exacte cosinusregel

Puzzel:
Gegeven is een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. De lijn m met vergelijking y=px met p>0 snijdt de cirkel behalve in O in een punt A, zodanig dat OA=3. Bereken exact de waarde van p.

Achtergrond:
Bij wiskunde B moeten we vaak een opgave exact oplossen. Dit betekent twee dingen:

  1. Het eindantwoord mag niet afgerond zijn.
  2. Je mag geen rekenmachine gebruiken (of je moet in ieder geval degene die nakijkt overtuigen dat je het zonder rekenmachine hebt gedaan).

Door deze regels kunnen we de cosinusregel meestal niet gebruiken bij exacte berekeningen. De cosinus van de meeste hoeken kunnen we namelijk niet exact berekenen. Soms is dat echter niet nodig en daar is deze examenopgave (Pilot VWO wiskunde B – 2012 tijdvak I opgave 7) een mooi voorbeeld van.

Lees verder Exacte cosinusregel

Puzzel of opdracht

Puzzel:
Zoek twee waarden van x waarvoor de vergelijking x^2 - 7x - 18 = 0 klopt.

Achtergrond:
Ik zie een wiskundige puzzel als een opdracht waarbij je niet meteen weet wat de beste oplosstrategie is. Een bepaalde opdracht kan voor de ene persoon dus wel een puzzel en voor de andere persoon niet een puzzel zijn. Dat is het geval bij deze opgave. Voor een derde klasser is dit hopelijk een standaardsom. Voor iemand die net in de tweede zit, is dit echter een puzzel, omdat hij de standaard oplosmethode nog niet kent.

Lees verder Puzzel of opdracht

Gemiddelde snelheid

Puzzel:
Koen gaat naar zijn werk met de auto. De eerste 8 km gaat hij over de snelweg met 120 km/uur. De volgende 8 km gaat hij door de stad met 40 km/uur. Hoe hard rijdt Koen gemiddeld?

Achtergrond:
Ik hou van problemen waarbij onze intuïtie ons in de steek laat. Bijna iedereen denkt in eerste instantie namelijk dat het antwoord 80 km/uur is. De redenatie van ons hoofd is dat we de helft van de reis met 40 km/uur rijden en de andere helft met 120 km/uur rijden. Gemiddeld rijden we dus met het gemiddelde van deze twee snelheden. Dat is logisch, toch?

Lees verder Gemiddelde snelheid

Tussen de cirkels

Puzzel:
Drie cirkels met straal 1 raken elkaar, zoals in het plaatje hieronder. Bereken de oppervlakte van het rode stuk tussen de cirkels.

Achtergrond:
Deze week heb ik voor 4 VWO wiskunde B een collectie opgaven samengesteld waarmee ze zich kunnen voorbereiden op een meetkundetoets. Dit vind ik de mooiste opgave uit deze collectie.

Lees verder Tussen de cirkels

Zakgeld

Puzzel:
Johan spreekt met zijn vader af dat hij op 1 januari 1 cent zakgeld krijgt. Op 2 januari krijgt hij het dubbele – namelijk 2 cent. Op 3 januari verdubbelt zijn zakgeld weer naar 4 cent. Zo blijft het zakgeld iedere dag van januari verdubbelen. Schat hoeveel zakgeld Johan in januari krijgt.

Achtergrond:
Dit jaar ben ik mijn lessenserie over exponentiële verbanden met deze schattingsvraag begonnen. Ongeveer de helft van de klas dacht dat het antwoord een bedrag van minder dan 10 euro was. Het is verassend dat het uiteindelijke bedrag meer dan een miljoen keer zo groot is.

Lees verder Zakgeld