Lengte van bissectrice

Afgelopen week was in België de eerste ronde van de Junior Wiskunde Olympiade. De uitsmijter van deze wedstrijd heeft mij vanavond een hele tijd bezig gehouden:

Een driehoek heeft een zwaartelijn van lengte 8 die loodrecht staat op een bissectrice van lengte 9. Bepaal de oppervlakte van die driehoek.

Mijn eerste probleem was hoe ik de vraag moest interpreteren. Bedoelden de opgavemakers dat de lengte van de bissectrice 9 was vanaf het hoekpunt tot de zwaartelijn of tot de zijde van de driehoek? Ik vermoede het eerste, maar alleen de tweede interpretatie kon ik gemakkelijk oplossen. Een schets van mijn antwoord staat in het plaatje hieronder.

Formulering_A

De volgende uitdaging was om te onderzoeken wat de oplossing is als de bissectrice van hoekpunt tot zijde 9 is, zoals in het onderstaande plaatje.

Situatie_2

Ik bedacht mij dat als ik de afstand BD zou weten ik de oppervlakte kan berekenen op dezelfde manier als in mijn eerste interpretatie. Ik besloot daarom deze afstand x te noemen en te kijken of ik de afstand DT vervolgens in x kon uitdrukken. Uiteindelijk lukte mij dat met onderstaande plaatje:

Situatie_2_metExtraPunt

Hieronder beschrijf ik welke stappen je moet bewijzen om tot een antwoord te komen. De details mag je zelf invullen:

  1. Bewijs dat BD de middelloodlijn van AS is.
  2. Bewijs dat driehoek BDS congruent is met driehoek SFC.
  3. Bewijs dat driehoek ADT gelijkvormig is met AFC. De zijden van deze driehoek hebben een verhouding 1:3.
  4. Uit punt 1-3 volgt dat BD:DT = 3:1. Daarom is BD = \frac{3}{4}\cdot 9 = \frac{27}{4}. Daaruit volgt dat de oppervlakte van driehoek ABC = 54.

Tot slot: Nu ik nog eens terugkijk naar wat ik geschreven heb, lijkt het mij duidelijk dat de tweede interpretatie de juiste was. Echter, dit soort interpretatiefouten zijn heel gemakkelijk te maken bij meetkunde-vragen zonder plaatje. Daarom zet ik zelf altijd een plaatje bij meetkunde-opgaven.

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s