Wiskunde Olympiade

Afgelopen week hebben meer dan 10.000 leerlingen meegedaan aan de eerste ronde van de Wiskunde Olympiade. Zij kregen twaalf leuke – maar pittige puzzels voorgeschoteld. De opgaven (en antwoorden) zijn inmiddels te bekijken op de site van de wiskunde olympiade.

Mijn favoriete opgave was dit keer een meetkunde-opgave:

Olympiade_opgave3

Tip: Lees pas verder als je over het probleem hebt nagedacht!

De geschiedenis van dit probleem

Ik was erbij toen dit probleem bedacht werd. Het begon allemaal met de constatering dat je tien vijfhoeken precies in een cirkeltje kunt leggen:

VijfhoekenInHetRond

Een manier hoe je dit kan verklaren, is door te kijken naar de (buiten)hoeken van de lijnstukken in het midden. Om rond te gaan moet de som van deze hoeken precies 360 graden zijn.

Hoeken360graden
Deze lijnen sluiten netjes aan, omdat 71,87+66,45+78,73+60,93+82,02 = 360 graden!

Bij een vijfhoek is deze buitenhoek gelijk aan 36 graden. Daarom heb je tien vijfhoeken nodig om precies rond te gaan:

vijfhoeken_rond

De reden dat deze hoeken 36 graden zijn, is omdat de hoeken in een regelmatige vijfhoek 108 graden zijn. Twee hoeken bij elkaar zijn daarom 36 graden meer dan een rechte hoek.

vijhoek_36graden

De hoek bij een vierkant is niet 108 graden, maar 90 graden. De som van de buitenhoeken wordt daarom niet groter als we een aantal vierkanten tussen de vijfhoeken plaatsen.

PlaatjeOlympiade

Het antwoord op de Olympiade-som is dus tien. Overigens kun je ook meer of minder vierkanten invoegen – zolang je het maar een beetje symmetrisch doet.

Meer_figuren

Het onbeperkt kunnen toevoegen van vierkantjes is de reden waarom ik deze opgave zo gaaf vind. Overigens hebben we in drie-dimensionale objecten ook zo’n soort vorm: de zeshoek. Kijk maar naar een voetbal. Dat is een dodecaëder (figuur met twaalf vijfhoeken) met daaraan een aantal zeshoeken toegevoegd.

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s