Een ontzettend lelijk schilderij

In deze post beschrijf ik hoe een bepaalde workshop van Djurre Tijsma er op het internationale wiskundekamp uitzag. Zijn workshop ging over het zogenaamde `lelijke schilderijen probleem’. Dit probleem luidt als volgt:

Van je oma heb je een lelijk schilderij gekregen. Je voelt je verplicht om het schilderij op te hangen, maar je wilt het op zo’n manier ophangen dat het schilderij er zo snel mogelijk ook weer afvalt. Daarom sla je twee spijkers slecht in de muur en hang je het schilderij met behulp van een touwtje daar aan op. Kun je het schilderij zo ophangen aan deze twee spijkers, zodat
a: het blijft hangen zolang beide spijkers in de muur zitten en
b: dat het van de muur valt zodra een willekeurige spijker uit de muur valt?

De normale manier van een schilderij ophangen, voldoet aan de eerste eis: het schilderij blijft hangen zolang beide spijkers in de muur zitten.

NormaleManierSchilderij

Echter, als je het schilderij zo ophangt, zal het ook blijven hangen als spijker 2 uit de muur valt.

AanEenSpijker
Het schilderij valt helaas niet van de muur als spijker 2 uit de muur valt.

Onderstaande constructie is al beter. Als spijker 2 nu uit de muur valt, zal het schilderij ook van de muur vallen. Echter, als spijker 1 van de muur valt, blijft het schilderij gewoon hangen…

EenIetsBetereConstructie
Een iets betere (of slechtere – maar net hoe je het bekijkt) constructie om het schilderij op te hangen.

Het doel van de puzzel is om een manier te bedenken dat het schilderij valt zodra een willekeurige spijker op de grond valt. Als je hier een oplossing voor hebt gevonden, kun je verder denken over dezelfde puzzel met drie spijkers. Dan moet je hem wederom zo ophangen dat het schilderij altijd valt als één spijker uit de muur valt.

Tijdens het eerste uur van de workshop liet Djurre groepjes deelnemers dit soort puzzels met touw en armen (die dienst deden als spijkers) oplossen. Dat was erg leuk en hilarisch…

Workshop_touw

Een verwant probleem

In het tweede gedeelte liet Djurre zien hoe je met behulp van de wiskunde dit probleem kunt aanpakken. Hiervoor liet hij eerst een algebraïsch  probleem zien dat uiteindelijk heel veel met het lelijke schilderijen puzzel te maken bleek te hebben.

Voor dit probleem bekijkt Djurre rijtjes met daarin de symbolen x, y, x^{-1} en y^{-1}, zoals xyxyx^{-1} en yxy^{-1}yxy^{-1}. Hierbij zijn x^{-1} en y^{-1} inverse functies. Dat betekent dat als een x en een x^{-1} direct naast elkaar staan je deze twee tegen elkaar mag wegstrepen.

Als we bijvoorbeeld beginnen met xy^{-1}xxy^{-1}yx^{-1} kunnen we de y^{-1}y weghalen om het rijtje xy^{-1}xxx^{-1} te krijgen. Vervolgens kunnen we de xx^{-1} wegstrepen en zo vereenvoudigen we het rijtje verder tot xy^{-1}x.

Opgave: Vereenvoudig het rijtje yx^{-1}yy^{-1}xxxy^{-1}xx^{-1}yx^{-1}y^{-1} zo ver mogelijk.

Toen Djurre dit had uitgelegd, zette hij de groep aan het werk met het volgende probleem:

Maak een rijtje met zowel x’en als y’en daarin, zodat aan de volgende drie voorwaarden is voldaan:
(i) je niets tegen elkaar weg kunt strepen.
(ii) je alles weg kunt strepen als je in het begin alle x‘en en x^{-1} uit de rij verwijdert.
(iii) je alles weg kunt strepen als je in het begin alle y‘en en y^{-1} uit de rij verwijdert.

Na wat puzzelen vonden de deelnemers het werkende rijtje xyx^{-1}y^{-1}.

Opgave: Probeer zelf een rijtje te maken met x, y, z en hun inversen (..^{-1}), zodat aan de bovenstaande voorwaarden is voldaan en je ook alles tegen elkaar kunt wegstrepen als je alle z‘jes uit de rij verwijderd.

De oplossing van het lelijke schilderijen probleem

We kunnen een touw om twee manieren om de spijker heen draaien: met de klok mee en tegen de klok in. Wij merken hierbij op dat als we eerst met de klok mee om de spijker gaan en vervolgens tegen de klok in het effect hetzelfde is als dat het touw er helemaal niet omheen is gegaan! Die twee rondjes heffen elkaar dus op!

TouwOmKnoop

Nu komt de truc: we noemen een rondje met de klok mee om spijker 1: x en een rondje tegen de klok in x^{-1}. Een rondje rond knoop 2 met de klok mee noemen we y en een rondje tegen de klok in y^{-1}. Het rijtje xyx^{-1}y^{-1} betekent dus dat we eerst met de klok mee rond spijker 1 gaan, dan met de klok mee rond spijker 2, daarna tegen de klok in rond spijker 1 en tot slot tegen de klok in rond spijker 2.

Je kunt checken dat het schilderij vast zit. Als spijker 2 echter wegvalt, vallen alle y en y^{-1} weg en houden we alleen xx^{-1} over en dat is precies het plaatje hierboven. Het schilderij zal dus vallen!

Hetzelfde werkt als we een schilderij willen ophangen aan drie spijkers, waarbij hij moet vallen als er eentje uit de muur valt. We moeten dan alleen een rijtje pakken met x, y en z‘tjes erin, zoals in de puzzel van de laatste sectie. Probeer het maar!

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s