Biologie olympiade

Gisteren sprak ik op een verjaardagsfeestje met een aantal vrijwilligers van de Biologie olympiade. Zij vertelden mij dat ze het jammer vonden dat wiskunde B-leerlingen geen kansrekening krijgen op school. Daardoor hebben Nederlandse leerlingen altijd moeite met vragen over erfelijkheid. Daar zit namelijk best wel pittige kansrekening in. Dit zie je bijvoorbeeld aan onderstaande vraag die in een andere formulering in de voorronde van de Biologie olympiade zat:

Onze oogkleur wordt bepaald door de allelen die je hebt. In deze opgave doen we alsof er maar twee type allelen zijn: B(ruin) en b(lauw). Ieder mens heeft in zijn DNA twee van zulke allelen zitten. Als deze allebei b(lauw) zijn, heb je blauwe ogen. In alle andere gevallen heb je bruine ogen. In het land Biologia zijn 60 procent van de allelen bruin.

Oogkleur_schema

Als een kind geboren wordt, erft hij één allel van zijn vader en één allel van zijn moeder. In een bepaald gezin in Biologia heeft de vader bruine ogen en de moeder blauwe ogen. Wat is de kans dat beide kinderen in dit gezin blauwe ogen hebben?

In de rest van deze post laat ik zien waarom deze vraag zo moeilijk is, maar het is misschien leuk om er eerst zelf over na te denken!

Voorwaardelijke kans

De moeder van de kinderen heeft zeker twee blauwe allelen. Van haar erven beide kinderen dus zeker een blauw allel. Hun oogkleur hangt dus alleen af van wat ze van hun vader erven.

Hun vader kan BB of Bb (of bB) hebben. In het eerste geval krijgen de kinderen zeker bruine ogen. We moeten daarom de kans berekenen dat vader zowel een bruin als een blauw allel heeft. Veel leerlingen denken dat deze kans 2 \cdot 0,6 \cdot 0,4=0,48 is. Zij redeneren dat de kans dat het eerste allel bruin is gelijk is aan 0,6 en dat het tweede allel blauw is gelijk is aan 0,4. De kans op Bb is dus 0,6 \cdot 0,4=0,24. Dezelfde kans heb je op bB. De totale kans wordt daarom 2 \cdot 0,24=0,48.

kansen_a_priori
De kansen dat een willekeurig lid van de bevolking bepaalde oogkleuren heeft.

Hoewel dit aannemelijk klinkt, is het niet goed. Het probleem is dat deze leerling geen rekening houdt met de informatie dat de vader bruine ogen heeft. Dit betekent dat de  vader geen bb kan hebben. De kans op bb is dus eigenlijk 0:

Kans_met_informatie
Er klopt iets niet, want de som van de kansen moet natuurlijk altijd 1 zijn.

Het klopt niet, omdat er hier sprake is van een voorwaardelijke kans. Zo’n kans gebruik je als er een voorwaarde is (in dit geval dat vader bruine ogen heeft). Deze theorie vertelt ons dat we de kans kunnen berekenen met de volgende som1:

\frac{\text{Kans op een blauw en een bruin allel}}{\text{Kans op bruine ogen}}

Dit vertelt ons dat de kans dat vader Bb of bB heeft, gelijk is aan \frac{0,48}{0,84}=\frac{4}{7}.

Onafhankelijk

Als vader een blauw en een bruin allel heeft, heeft het eerste kind 50 procent kans op een blauw allel en het tweede kind ook. Het antwoord op de vraag wordt daarom gelijk aan \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{7}.

Een fout die daarbij vaak gemaakt wordt, is dat de kans dat het eerste kind blauwe ogen heeft, gelijk is aan \frac{2}{7} en de kans dat het tweede kind blauwe ogen heeft ook gelijk is aan \frac{2}{7}. Deze twee kansen kloppen. Toch is de kans dat ze allebei blauwe ogen hebben niet \frac{2}{7}\cdot \frac{2}{7}. Dat komt, omdat deze kansen niet onafhankelijk zijn. Als het oudste kind blauwe ogen heeft, is de kans dat het jongere kind blauwe ogen heeft groter. Dat is zo, omdat vader dan zeker een blauw allel moet hebben!


Footnote 1: De voorwaardelijke kans zegt dat de kans dat A gebeurt als je al weet dat B gebeurt gelijk is aan \frac{\text{kans dat A en B gebeurt}}{\text{kans dat B gebeurt}}. In deze som is

  • A: Vader heeft één blauw en één bruin allel.
  • B: Vader heeft bruine ogen

In dit geval gebeurt B altijd als A gebeurt. De kans dat A en B gebeurt, mogen we daarom afkorten tot de kans dat A gebeurt. Op dit manier krijgen we de formule \frac{\text{kans dat A gebeurt}}{\text{kans dat B gebeurt}}. Als we A en B invullen, krijgen we de formule \frac{\text{Kans op een blauw en een bruin allel}}{\text{Kans op bruine ogen}} die in de tekst staat.

One thought on “Biologie olympiade”

  1. Naar aanleiding van mijn post kreeg ik de volgende leuke vervolgvraag opgestuurd: `Gegeven dat de vader én zijn eerste kind bruine ogen hebben, wat is dan de kans dat een tweede kind blauwe ogen heeft?‘ Kijk maar of je die nu zelf kunt oplossen.

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s