Een duel tussen cowboys

Afgelopen weekend coachte ik een schaakteam in Parijs. Terwijl mijn team aan het schaken was, zette Marijn (een van de spelers in mijn team) mij aan het werk met een serie puzzels over cowboys. Het eerste raadsel luidde als volgt:

In een zeker dorp in het wilde westen wonen drie cowboys: Joris, Marijn en Daniel. Het is algemeen bekend dat Joris en Marijn nooit een schot missen, terwijl Daniel 50% van de keren per ongeluk mist.
In dit dorp is maar één meisje en aangezien ze die alle drie willen trouwen, komt het tot een duel. Ze spreken af dat ze eerst lootjes trekken om de volgorde te bepalen waarin ze mogen schieten. Daarna mogen ze in deze volgorde steeds één schot lossen. Als een kogel raak is, dood die direct een andere cowboy. Bereken de kans dat Daniel degene is die dit duel overleeft en dus met het meisje mag trouwen. Ga er hierbij vanuit dat de cowboys steeds doen wat voor hun overlevingskansen het beste is.

Het leuke van dit raadsel is de moraal dat je soms het beste incapabel kunt zijn. Daniel heeft namelijk de beste overlevingskans, omdat hij zo slecht schiet. Daardoor zullen Joris en Marijn namelijk altijd eerst op elkaar schieten. Als Joris eerst Daniel dood, weet hij namelijk zeker dat Marijn hem dood. Echter, als Joris eerst Marijn dood, heeft hij \frac{1}{2} kans dat Daniel mist. Joris zal dus altijd eerst Marijn doden.

Hiervan gebruik makend kan Daniel zelfs een winstkans van 50 procent krijgen door alleen te mikken als hij nog één tegenstander heeft en door expres te missen (dat kan hij nog net wel…) als hij er nog twee heeft. Immers als hij een van de twee raakt, zal de ander hem zeker doden.

Twee incapabele cowboys

Nadat ik dit raadsel had opgelost, kreeg ik direct een lastigere variant voor mijn kiezen. Dit raadsel luidde als volgt:

Tweede raadsel: Marijn, Daniel en Jesse spelen hetzelfde spel. Alleen zijn er nu twee incapabele cowboys: Daniel en Jesse. Zij raken beide met 50% kans. Marijn schiet nog steeds altijd raak. Wat is de overlevingskans van Marijn?

In de rest van dit artikel laat ik zien hoe ik dit probleem heb opgelost. Ik wil je echter uitdagen om te proberen het probleem eerst zelf op te lossen. Uiteindelijk leer je van dit soort puzzels namelijk het meest als je de oplossing (of een deel van de oplossing) zelf weet te ontdekken!

Mijn oplossingsmethode

Een standaardstrategie in de wiskunde is om een probleem op te delen in kleinere, eenvoudigere problemen. In dit geval kunnen we het probleem opdelen in drie eenvoudigere problemen.

  • Probleem 1: Wat is de overlevingskans als Marijn mag beginnen met schieten?
  • Probleem 2: Wat is de overlevingskans als Marijn als tweede mag schieten?
  • Probleem 3: Wat is de overlevingskans als Marijn als derde mag schieten?

Deze situaties gaan we één voor één bekijken:

Situatie 1: Marijn is als eerste aan de beurt.

In deze situatie schiet Marijn eerst willekeurig iemand dood. De andere overlevende zal 50% van de keren Marijn doden. Anders dood Marijn hem en overleeft hij het. Marijn heeft in deze situatie dus kans \frac{1}{2} dat hij het overleeft.

Situatie 2: Marijn is als tweede aan de beurt.

In dit geval zal de eerste die aan de beurt is op Marijn schieten. De kans dat Marijn dit overleeft, is \frac{1}{2}. Daarna schiet Marijn iemand dood en wordt er weer op hem geschoten (raakkans: \frac{1}{2}). Als hij dat overleeft, schiet Marijn de laatste dood en wint het spel. In deze situatie is zijn overlevingskans dus \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Geval 3: Marijn is als derde aan de beurt.

Het is verleidelijk om te denken dat de kans nu \frac{1}{2}^3= \frac{1}{8} is. Het lijkt er namelijk op dat Marijn nu drie schoten moet overleven om het spel te winnen: twee schoten voordat hij aan de beurt is en nog één schot daarna.

Er is echter iets bijzonders aan de hand. Om dit te begrijpen bekijken we eerst de situatie dat Marijn wordt doodgeschoten door Jesse. Wat is dan de overlevingskans van Jesse? Deze situatie komt overeen met het derde raadsel hieronder:

Derde raadsel: Daniel en Jesse schieten allebei raak met 50% kans. Zij zijn samen in een duel verwikkeld waarin Daniel mag beginnen. Wat is de kans dat Jesse het duel wint?

Reeksen

De kans dat Daniel wint in het derde raadsel is \frac{1}{2} + \frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{128}+... (toon dit zelf aan!). Er zijn meerdere manieren om dit soort oneindige doorlopende sommen te berekenen. Hier wil ik er eentje laten zien die niet zoveel gebruikt wordt, maar die ik wel heel inzichtelijk vind.

We noemen p de kans dat Daniel wint. Dus

p = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{128}+...

De kans dat Jesse wint, is 1-p, want of Daniel wint of Jesse wint. We kunnen echter ook laten zien dat de kans dat Jesse wint gelijk is aan \frac{1}{4} + \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+.... Dus

1-p = \frac{1}{4} + \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+...

We zien nu echter dat 1-p = \frac{p}{2}. Dit kunnen we oplossen tot p = \frac{2}{3}. De kans dat Daniel wint, is dus \frac{2}{3} en de kans dat Jesse wint slechts \frac{1}{3}.

Een beslissing voor Jesse

Stel nu dat jij in het tweede raadsel in de schoenen van Jesse staat. De volgorde die geloot is, is Jesse, Daniel, Marijn. Zou jij dan op Marijn schieten of expres missen? Om deze vraag te beantwoorden, moet je nagaan welke situatie voor jou gunstiger is: dat jij na jouw beurt alleen overblijft met Daniel of dat iedereen nog leeft.

Als je samen met Daniel overblijft, mag hij beginnen met schieten. Jouw overlevingskans is volgens het derde raadsel dus \frac{1}{3}.

Als je met zijn drieën overblijft, zal Daniel op Marijn schieten. Als hij raakt, is je winstkans daarna \frac{2}{3}. Als hij mist, is je winstkans daarna \frac{1}{4} (50% kans dat Marijn niet op jou schiet en als hij dat doet, moet je Marijn raken om niet te sterven). Je totale winstkans bij niet schieten, is dus \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{11}{24}.

Jouw winstkans is dus groter wanneer je niet schiet. Dit betekent dat het voor Marijn eigenlijk niet uitmaakt of hij als tweede of als derde aan de beurt is. In beide gevallen hoeft hij maar twee schoten te overleven. We hebben voor Marijn dus de volgende winstkansen bij de deelproblemen:

  • Marijn als eerste aan beurt geeft winstkans \frac{1}{2}.
  • Marijn als tweede aan beurt geeft winstkans \frac{1}{4}.
  • Marijn als derde aan beurt geeft winstkans \frac{1}{4}.

De kans op iedere situatie is \frac{1}{3}. De totale winstkans van Marijn is daarom \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}.

Opgave: Beredeneer gebruikmakend van het feit dat de winstkans voor Marijn \frac{1}{3} is dat de winstkans voor Jesse ook \frac{1}{3} is.

Vervolgvragen 

Na dit raadsel kwamen natuurlijk nog meer vragen, waarbij Marijn ook niet bij alle vragen een antwoord wist (en waarbij we dus samen op ontdekkingstocht konden gaan). Hieronder heb ik vier van deze vragen geselecteerd. 

Vierde raadsel: Daniel en Jesse kunnen in het tweede hun eigen winstkansen vergroten als ze besluiten om samen te werken. Waarom is dit in de praktijk lastig?

Vijfde raadsel: Marijn, Daniel en Jesse spelen hetzelfde spel als in raadsel 2. Alleen hebben Daniel en Jesse nu maar een kans van \frac{1}{3} om raak te schieten. Bereken dat het nu voor Jesse en Daniel wel altijd gunstig is om raak te schieten. Vanaf welke raakkans is het voordelig voor Jesse en Daniel om in sommige situaties wel expres te missen?

Zesde raadsel: Stel dat je dit spel speelt met twee andere spelers en je voor iedere speler mag bepalen wat hun raakkansen zijn. Wat is de maximale winstkans die je je aan iedere speler (inclusief jezelf)?

Zevende raadsel: Denk eens na wat er gebeurt in de situatie dat iedereen altijd raak schiet.

Tot besluit

Wat Marijn en ikzelf zo gaaf vinden aan deze serie opgaven, is dat je er zoveel verschillende gebieden uit de wiskunde voor moet gebruiken. Voor het derde raadsel hadden we een sommatie van een meetkundige rij nodig. Bij het vierde raadsel komt een stukje speltheorie (het prisoner’s dilemma) kijken en voor het vijfde raadsel moeten we een derdegraadsvergelijking  oplossen.

In de wiskunde zien we vaak dat je voor een probleem meerdere disciplines uit de wiskunde moet gebruiken. Dat dit voor zo’n simpel ogend probleem ook nodig is, verwonderde mij echter wel…

One thought on “Een duel tussen cowboys”

  1. Leuke opgave, Peter! Eigenlijk zou je dit soort spellen als een Markov-keten willen simuleren en daar dan speltheorie op toepassen. Heb jij dat ook zo gedaan? Gr, Raymond

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s