Tussen de cirkels

Puzzel:
Drie cirkels met straal 1 raken elkaar, zoals in het plaatje hieronder. Bereken de oppervlakte van het rode stuk tussen de cirkels.

Achtergrond:
Deze week heb ik voor 4 VWO wiskunde B een collectie opgaven samengesteld waarmee ze zich kunnen voorbereiden op een meetkundetoets. Dit vind ik de mooiste opgave uit deze collectie.

Hulplijnen:
Het is duidelijk dat we nog een paar hulplijnen moeten tekenen, voordat we het stukje oppervlakte kunnen berekenen. De vraag is alleen welke hulplijnen nuttig zijn. Om dit te kunnen zien, heb je het volgende stukje kennis nodig.

Als twee cirkels elkaar uitwendig raken, is de afstand van de middelpunten gelijk aan de som van de twee stralen.

In het algemeen is het altijd nuttig om hulplijnen te tekenen waarvan we de lengte kunnen berekenen. Dat is het geval voor de verbindingslijnen tussen middelpunten. In ons plaatje hebben we drie van zulke lijnen en dus begin ik met het tekenen van deze drie lijnen.

Oppervlakte:
Wij krijgen nu een gelijkzijdige driehoek met lengte 2. De manier om de oppervlakte van het rode gebied te berekenen is door de oppervlakte van de driehoek te berekenen en daar de oppervlakte van de drie cirkelbogen vanaf te trekken. 

De oppervlakte van de driehoek is \sqrt{3}. Dit kun je bijvoorbeeld zien door een loodlijn van uit een hoekpunt te trekken. Je krijgt dan immers twee driehoeken met zijden 1, \sqrt{3} en 2. Iedere cirkelboog heeft een oppervlakte van \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi. De totale oppervlakte is dus \sqrt{3} - 3\cdot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}.

Video:
Bij de collectie opgaven die ik in de inleiding noemde, heb ik ook een filmpje gemaakt waarbij ik alle oplossingen bespreek. In het stukje hieronder bespreek ik eerst de oppervlakteformules die de leerlingen moeten kennen en vervolgens het probleem uit deze opgave.

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s