Gemiddelde snelheid

Puzzel:
Koen gaat naar zijn werk met de auto. De eerste 8 km gaat hij over de snelweg met 120 km/uur. De volgende 8 km gaat hij door de stad met 40 km/uur. Hoe hard rijdt Koen gemiddeld?

Achtergrond:
Ik hou van problemen waarbij onze intuïtie ons in de steek laat. Bijna iedereen denkt in eerste instantie namelijk dat het antwoord 80 km/uur is. De redenatie van ons hoofd is dat we de helft van de reis met 40 km/uur rijden en de andere helft met 120 km/uur rijden. Gemiddeld rijden we dus met het gemiddelde van deze twee snelheden. Dat is logisch, toch?

Een soortgelijk probleem:
Als onze hersenen met het antwoord 80 km/uur aan komen zetten, zijn ze in de war met het volgende probleem:

Cato gaat naar haar werk met de auto. De eerste 20 minuten rijdt zij over de snelweg met 120 km/uur. De volgende 20 minuten rijdt zij door de stad met 40 km/uur. Hoe hard rijdt Cato gemiddeld?

Het antwoord is in dit geval namelijk wel \frac{120+40}{2} = 80 km/uur. Het gemiddelde nemen van de twee snelheden mogen we namelijk gebruiken als de twee delen even lang duren. Dat is bij Koen echter niet het geval. Over het eerste stuk doet hij maar \frac{8}{120}\cdot 60 = 4 minuten, terwijl hij over het tweede stuk wel \frac{8}{40}\cdot 60 = 12 minuten doet.

Over het tweede stuk doet Koen drie keer zo lang als over het eerste stuk. Daarom kunnen we niet gewoon het gemiddelde van de twee snelheden nemen.

Er zijn nu twee manieren om de gemiddelde snelheid te berekenen. De eerste is door gebruik te maken van de formule \text{gemiddelde snelheid} = \frac{\text{afstand}}{\text{tijd}}. De afstand is 16 km en de tijd is \frac{16}{60}=\frac{4}{15} uur. Als we dat invullen, krijgen we \text{gemiddelde snelheid} = \frac{16}{\frac{4}{15}} = 60 km/uur.

De tweede methode is constateren dat Koen \frac{1}{4} van de tijd met 120 km/uur gaat en \frac{3}{4} van de tijd met 40 km/uur. De gemiddelde snelheid is daarom \frac{1}{4}\cdot 120 + \frac{3}{4} \cdot 40 =60 km/uur.

Vervolgvraag:
Een interessante vervolgvraag is de volgende veralgemenisering van dit probleem:

Marije gaat met de auto naar haar werk. Tijdens de eerste 8 km rijdt zij x km/uur. Tijdens de tweede 8 km rijdt zij y km/uur. Hoe hard rijdt zij gemiddeld?

Ik wens je veel plezier met je hersens hierover te kraken!

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s