Exacte cosinusregel

Puzzel:
Gegeven is een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. De lijn m met vergelijking y=px met p>0 snijdt de cirkel behalve in O in een punt A, zodanig dat OA=3. Bereken exact de waarde van p.

Achtergrond:
Bij wiskunde B moeten we vaak een opgave exact oplossen. Dit betekent twee dingen:

  1. Het eindantwoord mag niet afgerond zijn.
  2. Je mag geen rekenmachine gebruiken (of je moet in ieder geval degene die nakijkt overtuigen dat je het zonder rekenmachine hebt gedaan).

Door deze regels kunnen we de cosinusregel meestal niet gebruiken bij exacte berekeningen. De cosinus van de meeste hoeken kunnen we namelijk niet exact berekenen. Soms is dat echter niet nodig en daar is deze examenopgave (Pilot VWO wiskunde B – 2012 tijdvak I opgave 7) een mooi voorbeeld van.

Oplossing zonder cosinusregel:
Toen ik deze puzzel zelf oploste, heb ik de cosinusregel niet gebruikt. In plaats daarvan gebruikte ik dat het punt A op de twee cirkels (x-2)^2 + y^2 = 4 en x^2 + y^2 = 9 ligt. Wanneer we deze twee cirkelvergelijkingen van elkaar aftrekken, krijgen we x^2 - (x-2)^2 = 5. Als we de haakjes uitwerken, krijgen we een lineaire vergelijking met als oplossing x = 2 \frac{1}{4}.

Door x=2 \frac{1}{4} in x^2 + y^2 = 9 te vullen, berekenen we ook het y-coördinaat van A. Dat wordt y = \sqrt{9-2 \frac{1}{4}^2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}. Tot slotte berekenen we de richtingscoëfficiënt met \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{4}}{2 \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}.

Oplossing met cosinusregel:
Bij de oplossing met de cosinusregel maken we gebruik van de kennis dat we de richtingscoëfficiënt van een lijn kunnen berekenen met de tangens ten opzichte van de x-as. In het onderstaande plaatje is de richtingscoëfficiënt van OA dus \tan(\alpha).

De cosinusregel zegt nu dat 2^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\alpha). Dit uitwerken geeft \cos(\alpha) = \frac{3}{4}. Tot slot gebruiken we onderstaande driehoek om \tan(\alpha) te berekenen.

Met Pythagoras berekenen we dat BC = \sqrt{7}. Daarom is \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{3}. Dat is dus de richtingscoëfficiënt.

Terugkijken:
De oplossing met de cosinusregel laat ons een mooie manier zien hoe je goniometrische functies kunt gebruiken als je een opgave exact moet oplossen. Er zijn meer voorbeelden te bedenken waarbij dat kan (bijvoorbeeld als we een hoek van 60 graden hebben) en dat ga ik zeker onthouden voor toekomstige puzzels.

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s