Een meetkundig duel

Puzzel:
In een rechthoek van 8 bij 4 tekenen we een halve cirkel met als diameter een lange zijde van de rechthoek. Vervolgens tekenen we een diagonaal van de rechthoek, zodat onderstaande afbeelding ontstaat. In deze afbeelding moeten we de oppervlakte van het rode gebied berekenen.

Achtergrond:
Een leerling uit 4 VWO had dit probleem op YouTube gezien. Hij besloot mij en een klasgenoot uit te dagen wie hem het snelste kon oplossen. Ik zal zo eerlijk zijn om te erkennen dat ik ruim een uur nodig had voordat ik het probleem had opgelost. Dat bleek echter snel genoeg om de uitdaging te winnen, omdat mijn uitdager een rekenfout had gemaakt.

Mijn oplossing:
De twee afbeeldingen hieronder tonen mijn plan van aanpak. Eerst bereken ik de coördinaten van punt S. Met behulp van dit punt kan ik de oppervlakte van het groene, blauwe en paarse stuk berekenen.

Zodra ik deze stukken berekend heb, tel ik de oppervlakten op zoals in het plaatje hieronder om de oppervlakte van het gevraagde figuur te krijgen.

Assenstelsel:
Om de positie van het punt S te berekenen, plaats ik het figuur op een assenstelsel met punt A als de oorsprong. De formule van de diagonaal wordt dan y=\frac{x}{2} en de formule van de cirkel is (x-4)^2+(y-4)^2 = 16. De snijpunten vinden we door y=\frac{x}{2} te substitueren in de formule van de cirkel. Dat geeft (x-4)^2+(\frac{x}{2}-4)^2 = 16. Deze kwadratische vergelijking heeft als oplossingen x=1,6 en x=8. Bij het snijpunt S hoort x=1,6 en heeft als bijbehorende y-waarde: y=\frac{1,6}{2}=0,8. Dit geeft S=(1 \frac{3}{5} ; \frac{4}{5}).

Nu we de coördinaten van S weten, kunnen we de oppervlakte van de groene en paarse driehoek berekenen met de formule \text{oppervlakte} = \frac{1}{2}\cdot b \cdot h. Voor de groene driehoek is dat O(\text{groen}) = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 0,8 = 0,64. Voor de paarse driehoek krijgen we O(\text{paars}) = \frac{1}{2} \cdot 2,4 \cdot 3,2 = 3,84. Verder is O(\text{rechthoek}) = 2,4 \cdot 4 = 9,6.

De blauwe cirkelboog:
Voor onze rekensom hoeven we nu alleen nog de blauwe cirkelboog te berekenen. Daarvoor moeten we weten hoe groot de hoek \angle SMG is. Ik heb deze berekend door de cosinusregel in driehoek SMG toe te passen. Daarbij komen we uit op cos^{-1}(0,8). Mits onze rekenmachine ingesteld staat op radialen wordt de oppervlakte van de blauwe cirkelboog dan \frac{cos^{-1}(0,8)}{2pi} \cdot 4^2 \pi = 8cos^{-1}(0,8).

Het eindantwoord wordt dus O(\text{groen + oranje}) = 0,64 + 9,6 - 3,84 - 8cos^{-1}(0,8). Dit vereenvoudigen geeft \text{oppervlakte} = 6,4 - 8cos^{-1}(0,8) \approx 1,25199113.

De echte winnaars van het duel:
Overigens is het niet helemaal eerlijk dat ik in de inleiding de overwinning opgeëist heb. Later deze week hebben drie andere leerlingen namelijk samen het probleem op mijn whiteboard opgelost. Binnen 20 minuten hadden zij het volgende op het bord staan:

Ik kan niet anders zeggen dan dat deze drie heren de echte winnaars van het duel zijn.

Een vervolg:
Vlak na deze interactie in de klas verscheen er over dit probleem een vervolgvideo. In deze video bekeek de maker wat er gebeurt als de zijden van de rechthoek niet 8 bij 4 zijn, maar 2r bij r. Hij liet hiervoor een nieuwe, moeilijke oplossing zien. Echter, als je alle zijden in een figuur x keer zo groot maakt, worden alle oppervlakten gewoon x^2 keer zo groot. In dit geval is de vergrotingsfactor van alle zijden \frac{r}{4} en de vergrotingsfactor van de oppervlakte dus \frac{r^2}{16}. Een formule voor dit nieuwe probleem is dus \frac{r^2}{16} (6,4 - 8cos^{-1}(0,8)) = 0,4r^2-\frac{r^2}{2} cos^{-1}(0,8).

Geef een reactie

Gelieve met een van deze methodes in te loggen om je reactie te plaatsen:

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s