3Blue1Brown

I’ve loved math for as long as I can remember, and what excites me most is finding that little nugget of explanation that really clarifies why something is true, not in the sense of a proof, but in the sense that you come away feeling that you could have discovered the fact yourself.

– Grant Sanderson (maker van filmpjes op 3Blue1Brown)

Grant Sanderson is mijn held. Hij maakt hele bijzondere filmpjes over wiskunde. In deze filmpjes laat hij met animaties zien wat wiskundige begrippen betekenen en hoe je ze kunt gebruiken. Dit doet hij op zo’n mooie manier dat hij mij iedere keer weer weet te verassen. Nog altijd vind ik onderstaand filmpje de mooiste wiskundevideo die ooit gemaakt is:

Vandaag heb ik zijn videoserie over calculus bekeken. Bij het bekijken kon ik mij wel voor mijn hoofd slaan dat ik deze filmpjes niet gebruikt heb bij het uitleggen van wat de afgeleide betekent. Grant kan dit namelijk zoveel mooier en duidelijker uitleggen dan ikzelf. Bekijk zijn video’s maar:

Vul aan

Afgelopen week zag ik deze blog van Jörgen van Moortere. Hierin beschrijft hij een hele mooie opdrachtvorm uit het boek activerende werkvormen voor betadocenten van Martin Bruggink. Het idee is dat je leerlingen uitwerken van opdrachten geeft, waarbij stukjes zijn weggevallen. Deze weggevallen stukjes moeten de leerlingen dan aanvullen.

Vandaag heb ik in deze vorm een samenvatting gegeven aan VWO3:

Werkblad
Hier vind je de hele opdracht en de antwoorden.

Ze waren hier heel goed en leuk mee aan het werk. Aangezien ik al veel meer positieve verhalen over het boek van Martin Bruggink heb gehoord, heb ik het boek inmiddels ook gekocht.


22-02 toegevoegd: Aangezien het heel goed beviel, heb ik een dergelijke opdracht ook voor VWO5 gemaakt (over differentiëren). Daarvan kun je ook de opgaven en de antwoorden bekijken.

Voor de docenten die deze bestanden als basis willen gebruiken voor een eigen opdracht: Hier kun je alle word-bestanden downloaden.

Hoe, wat en waarom

Op Facebook zag ik een bericht voorbij komen, waar onderstaande vergelijking onderdeel van was:

Vergelijking

Ik vond deze afbeelding nogal confronterend. Ik moest namelijk denken aan mijn 5VWO wiskunde A klas. Op dit moment zijn wij bezig met het berekenen van afgeleiden en ik betwijfel of ze echt begrijpen waar we mee bezig zijn. Het boek is namelijk vooral bezig met het aanleren van de technieken. Zelf sluit ik mij daarbij aan. Ik besteed mijn lestijd vooral aan het zorgen dat ze deze vaardigheden verwerven door extra oefenblaadjes en filmpjes.

Echter, ik besteed volgens mij te weinig aandacht aan waarom de regels werken zoals ze werken. Dat wringt toch een beetje. Ik heb daarom ook een filmpje gemaakt voor de leerlingen die toch willen weten hoe ik die regels bekijk.


Zo’n vrijwillige video is natuurlijk ook niet een geweldige oplossing (vooral, omdat een video wat passief is). Volgend jaar wil ik daarom een groepsopdracht over dit stukje van de theorie doen. Dat kost niet veel tijd en geeft hopelijk wel veel inzicht.

Helling bepalen

In mijn vorige blogpost liet ik zien dat je op verschillende manieren de som 18 \cdot 5 kunt uitrekenen. Het op meerdere manieren kunnen oplossen van een som is een belangrijke vaardigheid. Vaak begrijp je een onderwerp namelijk beter als je op meerdere manieren het antwoord kan vinden. In de onderbouw leer je daarom meerdere oplostechnieken om kwadratische vergelijkingen en stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen.

In de bovenbouw leren we ook verschillende technieken voor het berekenen van de helling van een grafiek.

Grafiek
Wat is de helling van de grafiek op het punt (-1,2)?

Om deze vraag te beantwoorden hebben we volgende drie technieken geleerd:

Methode 1: Maak een raaklijn aan de grafiek. De helling van de raaklijn is ook de helling van de grafiek op het punt waar de raaklijn raakt.
Methode 2: Gebruik de d/dx-functie van de rekenmachine.
Methode 3: Bepaal de afgeleide en vul x=-1 hierin in.

Over deze drie methoden heb ik een kleine testopdracht voor de leerlingen gemaakt:

Opdracht_hellingen

Hoe je met de verschillende methoden het antwoord vindt, leg ik uit in de volgende video.

Meerdere manieren

Het mooie van de wiskunde is dat er vaak meerdere manieren zijn om bij het antwoord te komen. Vandaag heeft mijn collega Kees van Vliet dit aan zijn klassen laten zien met een heel mooi en simpel voorbeeld.

Hij vroeg aan zijn klassen om 18\cdot 5 uit te rekenen zonder rekenmachine. Vervolgens vroeg hij aan verschillende leerlingen hoe ze dat gedaan hadden. De eerste vertelde dat hij eerst 10 \cdot 5 berekend had en daar 8 \cdot 5 bij opgeteld had. Mijn collega tekende bij deze werkwijze een plaatje.

20maal5min2maal5
De leerling heeft deze twee oppervlakten bij elkaar opgeteld.

De volgende leerling vertelde dat zij eerst 20 \cdot 5 berekend had en daar 2\cdot 5 vanaf had gehaald.

10maal5plus8maal5
Deze leerling heeft juist twee oppervlakten van elkaar afgetrokken.

Een andere leerling had bedacht om de 5 keer twee te doen en de 18 gedeeld door 2 om de gemakkelijkere som 9\cdot 10 over te houden:

18maal5
Dit gebied heeft dezelfde oppervlakte!

Tot slot was er ook nog een leerling die geen enkele tussenstap nodig had en gewoon direct de oppervlakte berekende.

9maal10

Zo stonden er vier verschillende plaatjes op het bord die aantonen hoe je op verschillende manieren 18\cdot 5 kan berekenen.

Een andere reden waarom Kees van Vliet dit in de klas doet, is om te laten zien dat je bij veel sommen een plaatje kunt tekenen. Zo’n plaatje helpt vaak – bijvoorbeeld bij het onderwerp Pythagoras waar ze nu mee bezig waren.

3+2 en andere moeilijke sommen

Ik had vanochtend een interessant gesprek met een leerling uit 2VWO over de som 3\sqrt{2}+2 \sqrt{2}.

Leerling: Hoe kunt u het antwoord zo snel zien?
Ik: Weet je nog dat je op de basisschool moeite had met 3 + 2?
Leerling: ehh
Ik: Dat kun je je nu bijna niet meer voorstellen, omdat je het zo vaak geoefend hebt dat het nu automatisch gaat. Ik heb sommetjes als 3\sqrt{2}+2 \sqrt{2} ook zo vaak gemaakt dat ik ze direct zie. In feite is er voor mij niet zo’n groot verschil tussen deze som en 3+2. Ik zal je laten zien waarom. Wat heb je als je drie pennen hebt en je krijgt er twee pennen bij?
Leerling: Vijf pennen
Ik: Klopt! En wat heb je als je drie stoelen hebt en je krijgt er twee stoelen bij?
Leerling: Vijf stoelen
Ik: En als je drie hianen hebt en je krijgt er twee hianen bij?
Leerling: hianen?
Ik: Ik weet ook niet wat hianen zijn, maar ik weet wel dat als ik er drie heb en ik krijg er twee bij dat ik er dan vijf van heb. Eens?
Leerling: ehh, ja.
Ik: Hetzelfde heb ik met x‘en. Ik weet niet wat x is, maar ik weet wel dat als ik 3x+2x doe, ik dan 5x overhoud. Op dezelfde manier kan ik 3p+2p berekenen.
Leerling: Dat is dus 5p.
Ik: Inderdaad! En als ik 3x^2+2x^2 doe?
Leerling: 5x^2.
Ik: En als ik 3x^8+2x^8 doe?
Leerling: 5x^8.
Ik: En dan doen we nu 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}.
Leerling (na even nadenken): 5\sqrt{2}.
Ik: Het is iets moeilijker om die regel 3+2 in deze situatie uit te voeren. Over een jaar heb je dit echter zo vaak gedaan dat je bij deze opgave ook denkt `oh, 3+2’…

Het volgende uur werd ik uit de droom geholpen dat deze regel een jaar later automatisch gaat. Ik had namelijk mijn 4VWO op bezoek. Daar zitten een paar jongens in die volgend jaar al examen wiskunde B doen (en heel goed in wiskunde zijn). Ze kwamen echter niet uit de som 3\cdot 5^x + 2\cdot 5^x = 25. Ze wisten niet hoe ze moesten beginnen.

Voor de lezers van dit artikel is de eerste stap waarschijnlijk duidelijk. Namelijk dat 3\cdot 5^x + 2\cdot 5^x = 5 \cdot 5^x. Schijnbaar is de regel 3+2=5 echter moeilijk als het niet over pennen, stoelen of hianen gaat, maar over wiskundige termen. Dat had ik mij nog nooit eerder beseft.

Hier heb ik als beginnende docent wel vaker last van. Dat iets moeilijk is en ik er pas tijdens een les achterkom dat dit zo is. Het zou misschien helpen als er een keer een lijst wordt gemaakt voor beginnende docenten van dingen die gemakkelijk lijken, maar dat voor leerlingen niet zijn!

Meetkundige interpretatie

Vandaag heb ik de website Tools for Thought ontdekt. Op deze site toont de maker wat bepaalde algebraïsche formules meetkundig betekenen. Zo bekijkt hij de gelijkheid 2^{x+1} = 2\cdot 2^x. De linkerkant van deze vergelijking komt er meetkundig op neer dat we alle punten één stap naar links verplaatsen. De rechterkant van de vergelijking betekent dus dat we het y-coördinaat van ieder punt met een factor twee schalen. De gelijkheid 2^{x+1} = 2\cdot 2^x vertelt dat je bij beide bewerkingen dezelfde uitkomst krijgt. Zo had ik er nog niet eerder naar gekeken!

exponentieleFunctie
We beginnen met 2^x (groene functie). Als we alle punten één naar links verplaatsen (paarse pijlen), krijgen we hetzelfde resultaat als dat we alle punten twee keer zo hoog plaatsen (zwarte pijlen).

Het voorbeeld hierboven kun je algemeniseren voor iedere exponentiële functie. Voor alle exponentiële functies geldt namelijk dat verticaal schalen gelijk is aan horizontaal transleren.

De voorbeelden die hij daarna geeft, zijn zo mogelijk nog interessanter. Zo kan ik dankzij hem nu eindelijk onthouden waarom \cos ^2 (x) = \frac{1}{2}+\frac{\cos (2x)}{2}