Luciferpuzzels

Ik hou zelf enorm veel van luciferpuzzels. Dat zijn puzzels waarbij je lucifers moet neerleggen, verplaatsen of verwijderen. De puzzel hieronder is daarvan een simpel voorbeeld. Je moet er twee lucifers verwijderen, zodat er een kloppende som ontstaat.

SomMetLucifers

Een andere leuke puzzel hoort bij het plaatje hieronder.  Je zier hierin 5 vierkanten (4 kleine en 1 grote). De puzzel is om drie lucifers te verplaatsen, zodat je na de verplaatsingen nog maar 3 vierkanten hebt. Bovendien moet iedere lucifer onderdeel zijn van minstens één vierkant.

3vierkanten

Lees verder Luciferpuzzels

3Blue1Brown

I’ve loved math for as long as I can remember, and what excites me most is finding that little nugget of explanation that really clarifies why something is true, not in the sense of a proof, but in the sense that you come away feeling that you could have discovered the fact yourself.

– Grant Sanderson (maker van filmpjes op 3Blue1Brown)

Grant Sanderson is mijn held. Hij maakt hele bijzondere filmpjes over wiskunde. In deze filmpjes laat hij met animaties zien wat wiskundige begrippen betekenen en hoe je ze kunt gebruiken. Dit doet hij op zo’n mooie manier dat hij mij iedere keer weer weet te verassen. Nog altijd vind ik onderstaand filmpje de mooiste wiskundevideo die ooit gemaakt is:

Vandaag heb ik zijn videoserie over calculus bekeken. Bij het bekijken kon ik mij wel voor mijn hoofd slaan dat ik deze filmpjes niet gebruikt heb bij het uitleggen van wat de afgeleide betekent. Grant kan dit namelijk zoveel mooier en duidelijker uitleggen dan ikzelf. Bekijk zijn video’s maar:

A-didactische activiteit

Afgelopen maandag was ik bij een scholingsdag over onderzoekend wiskunde leren. De workshopgevers vinden dat wiskundelessen te vaak gebaseerd zijn op het eindeloos kopiëren van technieken die een docent voordoet wanneer hij een wiskundig probleem oplost.

De workshopgevers hebben daarom een aantal opdrachten ontwikkeld, waarmee leerlingen samen een onderwerp kunnen leren zonder dat de docent het uitlegt. Een mooi voorbeeld is de volgende opdracht waarbij leerlingen leren wat een vergrotingsfactor is.

Opdracht_adidactisch
Links zie je een foto van een figuur. Rechts is deze foto uitgerekt, zodat het lijnstuk dat eerst een afstand van 4 had nu een afstand van 7 heeft.

Bij deze opdracht verdeel je de klas in groepen van zes leerling. Tijdens de eerste vijf minuten moet iedere leerling zelfstandig één van de zes gebieden van het rechterplaatje proberen te tekenen en vervolgens uit te knippen. Na deze vijf minuten krijgt de groep een paar minuten de tijd om te testen of ze allemaal het figuur juist hebben uitgeknipt. Als dat zo is, vormen al hun figuren samen het grote figuur. Bij de meeste groepen verschijnt er echter zo’n soort figuur:

Afbeelding_plus3
Leerlingen hebben de zijden berekend door +3 te doen.

De volgende vraag aan de groepjes is dan ook om samen te onderzoeken hoe groot de gebieden dan wel gemaakt moeten worden, zodat het figuur correct aansluit. Na een tijdje proberen en puzzelen presenteert een groepje die het gelukt is aan de rest hun oplossing. Ik vind dit een hele mooie manier om leerlingen zelf ontdekkend aan het werk te zetten.


Meer informatie over dit project over onderzoekend leren, vind je in dit bestand.

 

De spiegel

Het licht zoekt altijd de snelste route. Dit merk je als je in de spiegel kijkt. Je ziet ieder voorwerp dan op de plek die ligt op de kortste route van het voorwerp via de spiegel naar jouw oog.

Punt_spiegel

Een interessante vraag is `Hoe vind je in het algemeen de plek op de spiegel waar een voorwerp afgebeeld wordt?‘ Om deze vraag te beantwoorden, begin ik met drie logische waarnemingen.

Lees verder De spiegel

Pythagorea

De app Pythagorea bestaat uit 345 meetkundige puzzeltjes over allerlei onderwerpen. De meeste onderwerpen zijn heel goed te gebruiken in de wiskundeles. Dit geldt bijvoorbeeld voor het onderwerp evenwijdige lijnen. De eerste puzzels van dit hoofdstuk zijn door iedereen goed te maken.

Evenwijdig1
Construeer een lijn door punt A, evenwijdig aan de gegeven lijn.

Lees verder Pythagorea

Meerdere manieren

Het mooie van de wiskunde is dat er vaak meerdere manieren zijn om bij het antwoord te komen. Vandaag heeft mijn collega Kees van Vliet dit aan zijn klassen laten zien met een heel mooi en simpel voorbeeld.

Hij vroeg aan zijn klassen om 18\cdot 5 uit te rekenen zonder rekenmachine. Vervolgens vroeg hij aan verschillende leerlingen hoe ze dat gedaan hadden. De eerste vertelde dat hij eerst 10 \cdot 5 berekend had en daar 8 \cdot 5 bij opgeteld had. Mijn collega tekende bij deze werkwijze een plaatje.

20maal5min2maal5
De leerling heeft deze twee oppervlakten bij elkaar opgeteld.

De volgende leerling vertelde dat zij eerst 20 \cdot 5 berekend had en daar 2\cdot 5 vanaf had gehaald.

10maal5plus8maal5
Deze leerling heeft juist twee oppervlakten van elkaar afgetrokken.

Een andere leerling had bedacht om de 5 keer twee te doen en de 18 gedeeld door 2 om de gemakkelijkere som 9\cdot 10 over te houden:

18maal5
Dit gebied heeft dezelfde oppervlakte!

Tot slot was er ook nog een leerling die geen enkele tussenstap nodig had en gewoon direct de oppervlakte berekende.

9maal10

Zo stonden er vier verschillende plaatjes op het bord die aantonen hoe je op verschillende manieren 18\cdot 5 kan berekenen.

Een andere reden waarom Kees van Vliet dit in de klas doet, is om te laten zien dat je bij veel sommen een plaatje kunt tekenen. Zo’n plaatje helpt vaak – bijvoorbeeld bij het onderwerp Pythagoras waar ze nu mee bezig waren.

Knippen en plakken

Vandaag heb ik een blad gemaakt om samen met 2VWO de stelling van Pythagoras al knippend te bewijzen. Ieder groepje begint met het knippen van acht gelijke rechthoekige driehoeken (met zijden a, b en c) en drie vierkanten met respectievelijk zijden a, b en c.

De volgende opdracht is om twee legpuzzels te maken. Het doel is om in twee vierkanten met zijden a + b alle geknipte figuren precies kwijt te raken. Dat kan zoals in het plaatje hieronder.

Pythagoras

Als een groepje leerlingen deze figuren weet te vormen, is de volgende opdracht om met behulp van deze figuren de stelling van Pythagoras te bewijzen (hint: de oppervlakte links en rechts is gelijk).


Bonusvraag: Om het bewijs wiskundig helemaal dicht te krijgen, moet je ook nog aantonen dat de figuren helemaal netjes passen. Waarom past het blauwe vierkant bijvoorbeeld precies tussen die driehoekjes?