Een meetkundig duel

Puzzel:
In een rechthoek van 8 bij 4 tekenen we een halve cirkel met als diameter een lange zijde van de rechthoek. Vervolgens tekenen we een diagonaal van de rechthoek, zodat onderstaande afbeelding ontstaat. In deze afbeelding moeten we de oppervlakte van het rode gebied berekenen.

Achtergrond:
Een leerling uit 4 VWO had dit probleem op YouTube gezien. Hij besloot mij en een klasgenoot uit te dagen wie hem het snelste kon oplossen. Ik zal zo eerlijk zijn om te erkennen dat ik ruim een uur nodig had voordat ik het probleem had opgelost. Dat bleek echter snel genoeg om de uitdaging te winnen, omdat mijn uitdager een rekenfout had gemaakt.

Lees verder Een meetkundig duel

Exacte cosinusregel

Puzzel:
Gegeven is een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. De lijn m met vergelijking y=px met p>0 snijdt de cirkel behalve in O in een punt A, zodanig dat OA=3. Bereken exact de waarde van p.

Achtergrond:
Bij wiskunde B moeten we vaak een opgave exact oplossen. Dit betekent twee dingen:

  1. Het eindantwoord mag niet afgerond zijn.
  2. Je mag geen rekenmachine gebruiken (of je moet in ieder geval degene die nakijkt overtuigen dat je het zonder rekenmachine hebt gedaan).

Door deze regels kunnen we de cosinusregel meestal niet gebruiken bij exacte berekeningen. De cosinus van de meeste hoeken kunnen we namelijk niet exact berekenen. Soms is dat echter niet nodig en daar is deze examenopgave (Pilot VWO wiskunde B – 2012 tijdvak I opgave 7) een mooi voorbeeld van.

Lees verder Exacte cosinusregel

Tussen de cirkels

Puzzel:
Drie cirkels met straal 1 raken elkaar, zoals in het plaatje hieronder. Bereken de oppervlakte van het rode stuk tussen de cirkels.

Achtergrond:
Deze week heb ik voor 4 VWO wiskunde B een collectie opgaven samengesteld waarmee ze zich kunnen voorbereiden op een meetkundetoets. Dit vind ik de mooiste opgave uit deze collectie.

Lees verder Tussen de cirkels

Luciferpuzzels

Ik hou zelf enorm veel van luciferpuzzels. Dat zijn puzzels waarbij je lucifers moet neerleggen, verplaatsen of verwijderen. De puzzel hieronder is daarvan een simpel voorbeeld. Je moet er twee lucifers verwijderen, zodat er een kloppende som ontstaat.

SomMetLucifers

Een andere leuke puzzel hoort bij het plaatje hieronder.  Je zier hierin 5 vierkanten (4 kleine en 1 grote). De puzzel is om drie lucifers te verplaatsen, zodat je na de verplaatsingen nog maar 3 vierkanten hebt. Bovendien moet iedere lucifer onderdeel zijn van minstens één vierkant.

3vierkanten

Lees verder Luciferpuzzels

3Blue1Brown

I’ve loved math for as long as I can remember, and what excites me most is finding that little nugget of explanation that really clarifies why something is true, not in the sense of a proof, but in the sense that you come away feeling that you could have discovered the fact yourself.

– Grant Sanderson (maker van filmpjes op 3Blue1Brown)

Grant Sanderson is mijn held. Hij maakt hele bijzondere filmpjes over wiskunde. In deze filmpjes laat hij met animaties zien wat wiskundige begrippen betekenen en hoe je ze kunt gebruiken. Dit doet hij op zo’n mooie manier dat hij mij iedere keer weer weet te verassen. Nog altijd vind ik onderstaand filmpje de mooiste wiskundevideo die ooit gemaakt is:

Vandaag heb ik zijn videoserie over calculus bekeken. Bij het bekijken kon ik mij wel voor mijn hoofd slaan dat ik deze filmpjes niet gebruikt heb bij het uitleggen van wat de afgeleide betekent. Grant kan dit namelijk zoveel mooier en duidelijker uitleggen dan ikzelf. Bekijk zijn video’s maar:

A-didactische activiteit

Afgelopen maandag was ik bij een scholingsdag over onderzoekend wiskunde leren. De workshopgevers vinden dat wiskundelessen te vaak gebaseerd zijn op het eindeloos kopiëren van technieken die een docent voordoet wanneer hij een wiskundig probleem oplost.

De workshopgevers hebben daarom een aantal opdrachten ontwikkeld, waarmee leerlingen samen een onderwerp kunnen leren zonder dat de docent het uitlegt. Een mooi voorbeeld is de volgende opdracht waarbij leerlingen leren wat een vergrotingsfactor is.

Opdracht_adidactisch
Links zie je een foto van een figuur. Rechts is deze foto uitgerekt, zodat het lijnstuk dat eerst een afstand van 4 had nu een afstand van 7 heeft.

Bij deze opdracht verdeel je de klas in groepen van zes leerling. Tijdens de eerste vijf minuten moet iedere leerling zelfstandig één van de zes gebieden van het rechterplaatje proberen te tekenen en vervolgens uit te knippen. Na deze vijf minuten krijgt de groep een paar minuten de tijd om te testen of ze allemaal het figuur juist hebben uitgeknipt. Als dat zo is, vormen al hun figuren samen het grote figuur. Bij de meeste groepen verschijnt er echter zo’n soort figuur:

Afbeelding_plus3
Leerlingen hebben de zijden berekend door +3 te doen.

De volgende vraag aan de groepjes is dan ook om samen te onderzoeken hoe groot de gebieden dan wel gemaakt moeten worden, zodat het figuur correct aansluit. Na een tijdje proberen en puzzelen presenteert een groepje die het gelukt is aan de rest hun oplossing. Ik vind dit een hele mooie manier om leerlingen zelf ontdekkend aan het werk te zetten.


Meer informatie over dit project over onderzoekend leren, vind je in dit bestand.

 

De spiegel

Het licht zoekt altijd de snelste route. Dit merk je als je in de spiegel kijkt. Je ziet ieder voorwerp dan op de plek die ligt op de kortste route van het voorwerp via de spiegel naar jouw oog.

Punt_spiegel

Een interessante vraag is `Hoe vind je in het algemeen de plek op de spiegel waar een voorwerp afgebeeld wordt?‘ Om deze vraag te beantwoorden, begin ik met drie logische waarnemingen.

Lees verder De spiegel