Lengte van bissectrice

Afgelopen week was in België de eerste ronde van de Junior Wiskunde Olympiade. De uitsmijter van deze wedstrijd heeft mij vanavond een hele tijd bezig gehouden:

Een driehoek heeft een zwaartelijn van lengte 8 die loodrecht staat op een bissectrice van lengte 9. Bepaal de oppervlakte van die driehoek.

Mijn eerste probleem was hoe ik de vraag moest interpreteren. Bedoelden de opgavemakers dat de lengte van de bissectrice 9 was vanaf het hoekpunt tot de zwaartelijn of tot de zijde van de driehoek? Ik vermoede het eerste, maar alleen de tweede interpretatie kon ik gemakkelijk oplossen. Een schets van mijn antwoord staat in het plaatje hieronder.

Formulering_A

De volgende uitdaging was om te onderzoeken wat de oplossing is als de bissectrice van hoekpunt tot zijde 9 is, zoals in het onderstaande plaatje.

Situatie_2

Ik bedacht mij dat als ik de afstand BD zou weten ik de oppervlakte kan berekenen op dezelfde manier als in mijn eerste interpretatie. Ik besloot daarom deze afstand x te noemen en te kijken of ik de afstand DT vervolgens in x kon uitdrukken. Uiteindelijk lukte mij dat met onderstaande plaatje:

Situatie_2_metExtraPunt

Hieronder beschrijf ik welke stappen je moet bewijzen om tot een antwoord te komen. De details mag je zelf invullen:

  1. Bewijs dat BD de middelloodlijn van AS is.
  2. Bewijs dat driehoek BDS congruent is met driehoek SFC.
  3. Bewijs dat driehoek ADT gelijkvormig is met AFC. De zijden van deze driehoek hebben een verhouding 1:3.
  4. Uit punt 1-3 volgt dat BD:DT = 3:1. Daarom is BD = \frac{3}{4}\cdot 9 = \frac{27}{4}. Daaruit volgt dat de oppervlakte van driehoek ABC = 54.

Tot slot: Nu ik nog eens terugkijk naar wat ik geschreven heb, lijkt het mij duidelijk dat de tweede interpretatie de juiste was. Echter, dit soort interpretatiefouten zijn heel gemakkelijk te maken bij meetkunde-vragen zonder plaatje. Daarom zet ik zelf altijd een plaatje bij meetkunde-opgaven.

Magnus

Vanavond heb ik op 3doc de documentaire over Magnus Carlsen teruggezien. Deze film is zeer de moeite waard. Hieronder zie je de trailer.

Wat ik vooral fascinerend vind aan Magnus Carlsen is hoe hij intuïtief aanvoelt wat de juiste zet is. Als ik er langer over nadenk, is dat echter iets wat iedereen heeft die ergens in uitblinkt. Denk bijvoorbeeld aan stervoetballers. Zij voelen ook intuïtief aan wat ze met een bal moeten doen.

Zelf heb ik zo’n intuïtie voor wiskundige puzzels. Die heb ik gekregen door heel veel kleine puzzeltjes op te lossen, totdat je op een gegeven moment bepaalde puzzels direct doorziet. Zie jij bijvoorbeeld de oplossing op de volgende puzzel?

Opgave_olympiade

Proefwerkpuzzel

Wiskundigen zijn vaak op zoek naar de kortste en gemakkelijkste oplossing. Vandaag kwam ik er bij het surveilleren achter dat deze strategie niet altijd werkt. Een van mijn taken was om te controleren of iedereen er was. Nu stonden er 20 leerlingen op mijn lijst en waren er 20 leerlingen in het lokaal. Daaruit concludeerde ik dat iedereen er was. Deze conclusie bleek achteraf echter onjuist. Er waren namelijk drie leerlingen die niet op mijn lijst stonden en er ontbraken dus ook drie leerlingen…

Tijdens dit uur surveilleren heb ik wel weer een leuk idee bedacht. Op mijn school moeten de leerlingen blijven zitten als ze klaar zijn met de toets totdat de bel gaat. Daarbij mogen ze een boek lezen, maar de meeste leerlingen vergeten een boek mee te nemen en vervelen zich dus. Dit is een ideaal moment voor een wiskundige puzzel. Voortaan neem ik daarom een wiskundige puzzel mee voor leerlingen die klaar zijn met hun toets. Maandag wordt het dit raadsel:

OppervlakteIsOmtrek

Een 4 bij 4 vierkant heeft de bijzondere eigenschap dat de omtrek (die is 4+4+4+4=16 bij dit vierkant) even groot is als de oppervlakte (4 \cdot 4 = 16). Zoek uit of er meer rechthoeken zijn waarvan de omtrek even groot is als zijn oppervlakte.

Calculator the game

Gisteren heb ik samen met Robin Bos gewerkt aan een boekje over kapotte rekenmachines. We schrijven dit voor een van de wiskundekampen van Vierkant voor Wiskunde. Dit boekje is gebaseerd op het spelletje Calculator the game. In dit spelletje heb je een rekenmachine die maar heel weinig kan. Het doel is om op een bepaald getal uit te komen. Daarvoor mag je slechts op een beperkt aantal knopjes drukken. In onderstaand plaatje zie je een level waarin je op het getal 4 moet uitkomen. Daarvoor mag je slechts drie keer op een knopje drukken.

Calculator_level5

Naar mate het spel vordert, worden er steeds meer leuke en vreemde knopjes geïntroduceerd. De puzzels krijgen hierdoor een leuk doolhofachtig karakter. Een aanrader om te spelen dus!

Escape room

Voor mijn wiskunde D klas heb ik een Escape Room gemaakt over lineaire algebra. Deze Escape Room bestaat uit een aantal puzzels waarvoor ze op een andere creatieve manier naar matrices moeten kijken. Hieronder zie je één van deze puzzels.

VreemdeEendInBijt

Naast wat serieuze puzzels heb ik ook een woordzoeker toegevoegd. In onderstaande puzzel moet je woorden vinden die iets met matrices te maken hebben. De overgebleven letters vormen een driecijferige code die je in mijn Escape Room nodig hebt.

matrix_woordzoeker

Geïnteresseerden kunnen de Escape Room hier downloaden in PDF of Word.

Your Next Mission

Vrienden van mij zijn een tijdje terug het bedrijfje YourNextMission begonnen. Zij organiseren intelligente puzzelgames, zoals het mainframe. Dat is een puzzelspel waarin je op een computer allemaal mysterieuze opdrachten krijgt die gaandeweg het spel steeds lastiger worden. De eerste editie van dit spel stamt uit een Wie is de mol-spel die we in Polen georganiseerd hebben. Deze is hier online te spelen (tip: het spel doet het het beste in FireFox).

In een van de eerste levels moet je proberen om bevoegd te worden om het mainframe binnen te gaan (zie de afbeelding hieronder). Heb jij een idee hoe dat kan?

onbevoegd

Inmiddels is er een tweede (nog mooier) mainframe af die vorige week door vier groepen in een bunker opgelost is. Deze mainframe organiseren ze later dit jaar opnieuw. Als je houdt van een uitdaging kun je je daarvoor met een team aanmelden.

Afstand tot punt

Op de middelbare school leer je dat alle punten die even ver van punt A als van punt B verwijderd zijn op één lijn liggen. Deze lijn heet de middelloodlijn van AB.

middelloodlijn
Op de middelloodlijn liggen alle punten die even ver van A afliggen als van B.

Vreemd genoeg heb ik nooit eerder nagedacht waar alle punten liggen die twee keer zo dicht bij punt A liggen als bij punt B. Dat deze punten niet één lijn vormen is vrij snel duidelijk, maar wat voor een figuur wordt het wel? Het antwoord veraste mij: het is een cirkel.

Dubbele_afstand_B
Op deze cirkel liggen alle punten die twee keer zo dicht bij A liggen als bij B.

Deze ontdekking roept weer nieuwe vragen op als

  • Wat is de vergelijking van de cirkel als A=(0,0) en B=(0,1)?
  • Liggen alle punten die drie keer dichter bij A dan bij B liggen ook op een cirkel?

Op beide vragen heb ik met wiskundig gepuzzel een antwoord weten te vinden. Lukt jou dat ook?