Meetkundige interpretatie

Vandaag heb ik de website Tools for Thought ontdekt. Op deze site toont de maker wat bepaalde algebraïsche formules meetkundig betekenen. Zo bekijkt hij de gelijkheid 2^{x+1} = 2\cdot 2^x. De linkerkant van deze vergelijking komt er meetkundig op neer dat we alle punten één stap naar links verplaatsen. De rechterkant van de vergelijking betekent dus dat we het y-coördinaat van ieder punt met een factor twee schalen. De gelijkheid 2^{x+1} = 2\cdot 2^x vertelt dat je bij beide bewerkingen dezelfde uitkomst krijgt. Zo had ik er nog niet eerder naar gekeken!

exponentieleFunctie
We beginnen met 2^x (groene functie). Als we alle punten één naar links verplaatsen (paarse pijlen), krijgen we hetzelfde resultaat als dat we alle punten twee keer zo hoog plaatsen (zwarte pijlen).

Het voorbeeld hierboven kun je algemeniseren voor iedere exponentiële functie. Voor alle exponentiële functies geldt namelijk dat verticaal schalen gelijk is aan horizontaal transleren.

De voorbeelden die hij daarna geeft, zijn zo mogelijk nog interessanter. Zo kan ik dankzij hem nu eindelijk onthouden waarom \cos ^2 (x) = \frac{1}{2}+\frac{\cos (2x)}{2}

Incorrect bewijs

Afgelopen weekend vertelde een vriend mij over een zomerschool in Oxford voor middelbare scholieren. Op dit kamp worden de deelnemers zes weken lang ondergedompeld in de getaltheorie. Het ziet er enorm gaaf uit (jammer dat ik geen middelbare scholier meer ben!). Hieronder zie je een filmpje wat dit kamp ongeveer inhoudt.

Om toegelaten te worden tot het kamp moet je onder meer een aantal pittige vragen onderzoeken. Veel van deze vragen zijn echter wel geweldig. Mijn persoonlijke favoriet is onderstaand bewijs waar je de fout uit moet zien te halen. Succes!


Volgens het tijdschrift van Niet-reproduceerbare resultaten is iedere stompe hoek een rechte hoek! Hun argument gaat als volgt.

StompIsRecht

Neem een vierhoek ABCD, waarbij \angle DAB = x een stompe hoek is en laat verder \angle ABC = 90 ^{\circ} en AD = BC. We noemen het snijpunt van de middelloodlijn van CD en de middelloodlijn van AB punt P. Dan geldt dat PA = PB en PC = PD. De driehoeken PAD en PBC hebben dus gelijke zijden en zijn daarom congruent. Dus \angle PAD = \angle PBC. Bovendien is PAB gelijkbenig. Er geldt dus \angle PAB = \angle PBA. Als we deze van elkaar aftrekken, krijgen we x = \angle PAD - \angle PAB = \angle PBC - \angle PBA = 90 ^{\circ}. We concluderen daarom dat de stompe hoek x een rechte hoek is.

Lengte van bissectrice

Afgelopen week was in België de eerste ronde van de Junior Wiskunde Olympiade. De uitsmijter van deze wedstrijd heeft mij vanavond een hele tijd bezig gehouden:

Een driehoek heeft een zwaartelijn van lengte 8 die loodrecht staat op een bissectrice van lengte 9. Bepaal de oppervlakte van die driehoek.

Mijn eerste probleem was hoe ik de vraag moest interpreteren. Bedoelden de opgavemakers dat de lengte van de bissectrice 9 was vanaf het hoekpunt tot de zwaartelijn of tot de zijde van de driehoek? Ik vermoede het eerste, maar alleen de tweede interpretatie kon ik gemakkelijk oplossen. Een schets van mijn antwoord staat in het plaatje hieronder.

Formulering_A

De volgende uitdaging was om te onderzoeken wat de oplossing is als de bissectrice van hoekpunt tot zijde 9 is, zoals in het onderstaande plaatje.

Situatie_2

Ik bedacht mij dat als ik de afstand BD zou weten ik de oppervlakte kan berekenen op dezelfde manier als in mijn eerste interpretatie. Ik besloot daarom deze afstand x te noemen en te kijken of ik de afstand DT vervolgens in x kon uitdrukken. Uiteindelijk lukte mij dat met onderstaande plaatje:

Situatie_2_metExtraPunt

Hieronder beschrijf ik welke stappen je moet bewijzen om tot een antwoord te komen. De details mag je zelf invullen:

  1. Bewijs dat BD de middelloodlijn van AS is.
  2. Bewijs dat driehoek BDS congruent is met driehoek SFC.
  3. Bewijs dat driehoek ADT gelijkvormig is met AFC. De zijden van deze driehoek hebben een verhouding 1:3.
  4. Uit punt 1-3 volgt dat BD:DT = 3:1. Daarom is BD = \frac{3}{4}\cdot 9 = \frac{27}{4}. Daaruit volgt dat de oppervlakte van driehoek ABC = 54.

Tot slot: Nu ik nog eens terugkijk naar wat ik geschreven heb, lijkt het mij duidelijk dat de tweede interpretatie de juiste was. Echter, dit soort interpretatiefouten zijn heel gemakkelijk te maken bij meetkunde-vragen zonder plaatje. Daarom zet ik zelf altijd een plaatje bij meetkunde-opgaven.

Magnus

Vanavond heb ik op 3doc de documentaire over Magnus Carlsen teruggezien. Deze film is zeer de moeite waard. Hieronder zie je de trailer.

Wat ik vooral fascinerend vind aan Magnus Carlsen is hoe hij intuïtief aanvoelt wat de juiste zet is. Als ik er langer over nadenk, is dat echter iets wat iedereen heeft die ergens in uitblinkt. Denk bijvoorbeeld aan stervoetballers. Zij voelen ook intuïtief aan wat ze met een bal moeten doen.

Zelf heb ik zo’n intuïtie voor wiskundige puzzels. Die heb ik gekregen door heel veel kleine puzzeltjes op te lossen, totdat je op een gegeven moment bepaalde puzzels direct doorziet. Zie jij bijvoorbeeld de oplossing op de volgende puzzel?

Opgave_olympiade