Een meetkundig duel

Puzzel:
In een rechthoek van 8 bij 4 tekenen we een halve cirkel met als diameter een lange zijde van de rechthoek. Vervolgens tekenen we een diagonaal van de rechthoek, zodat onderstaande afbeelding ontstaat. In deze afbeelding moeten we de oppervlakte van het rode gebied berekenen.

Achtergrond:
Een leerling uit 4 VWO had dit probleem op YouTube gezien. Hij besloot mij en een klasgenoot uit te dagen wie hem het snelste kon oplossen. Ik zal zo eerlijk zijn om te erkennen dat ik ruim een uur nodig had voordat ik het probleem had opgelost. Dat bleek echter snel genoeg om de uitdaging te winnen, omdat mijn uitdager een rekenfout had gemaakt.

Lees verder Een meetkundig duel

Tussen de cirkels

Puzzel:
Drie cirkels met straal 1 raken elkaar, zoals in het plaatje hieronder. Bereken de oppervlakte van het rode stuk tussen de cirkels.

Achtergrond:
Deze week heb ik voor 4 VWO wiskunde B een collectie opgaven samengesteld waarmee ze zich kunnen voorbereiden op een meetkundetoets. Dit vind ik de mooiste opgave uit deze collectie.

Lees verder Tussen de cirkels

Lengte van bissectrice

Afgelopen week was in België de eerste ronde van de Junior Wiskunde Olympiade. De uitsmijter van deze wedstrijd heeft mij vanavond een hele tijd bezig gehouden:

Een driehoek heeft een zwaartelijn van lengte 8 die loodrecht staat op een bissectrice van lengte 9. Bepaal de oppervlakte van die driehoek.

Mijn eerste probleem was hoe ik de vraag moest interpreteren. Bedoelden de opgavemakers dat de lengte van de bissectrice 9 was vanaf het hoekpunt tot de zwaartelijn of tot de zijde van de driehoek? Ik vermoede het eerste, maar alleen de tweede interpretatie kon ik gemakkelijk oplossen. Een schets van mijn antwoord staat in het plaatje hieronder.

Formulering_A

De volgende uitdaging was om te onderzoeken wat de oplossing is als de bissectrice van hoekpunt tot zijde 9 is, zoals in het onderstaande plaatje.

Situatie_2

Ik bedacht mij dat als ik de afstand BD zou weten ik de oppervlakte kan berekenen op dezelfde manier als in mijn eerste interpretatie. Ik besloot daarom deze afstand x te noemen en te kijken of ik de afstand DT vervolgens in x kon uitdrukken. Uiteindelijk lukte mij dat met onderstaande plaatje:

Situatie_2_metExtraPunt

Hieronder beschrijf ik welke stappen je moet bewijzen om tot een antwoord te komen. De details mag je zelf invullen:

  1. Bewijs dat BD de middelloodlijn van AS is.
  2. Bewijs dat driehoek BDS congruent is met driehoek SFC.
  3. Bewijs dat driehoek ADT gelijkvormig is met AFC. De zijden van deze driehoek hebben een verhouding 1:3.
  4. Uit punt 1-3 volgt dat BD:DT = 3:1. Daarom is BD = \frac{3}{4}\cdot 9 = \frac{27}{4}. Daaruit volgt dat de oppervlakte van driehoek ABC = 54.

Tot slot: Nu ik nog eens terugkijk naar wat ik geschreven heb, lijkt het mij duidelijk dat de tweede interpretatie de juiste was. Echter, dit soort interpretatiefouten zijn heel gemakkelijk te maken bij meetkunde-vragen zonder plaatje. Daarom zet ik zelf altijd een plaatje bij meetkunde-opgaven.

Magnus

Vanavond heb ik op 3doc de documentaire over Magnus Carlsen teruggezien. Deze film is zeer de moeite waard. Hieronder zie je de trailer.

Wat ik vooral fascinerend vind aan Magnus Carlsen is hoe hij intuïtief aanvoelt wat de juiste zet is. Als ik er langer over nadenk, is dat echter iets wat iedereen heeft die ergens in uitblinkt. Denk bijvoorbeeld aan stervoetballers. Zij voelen ook intuïtief aan wat ze met een bal moeten doen.

Zelf heb ik zo’n intuïtie voor wiskundige puzzels. Die heb ik gekregen door heel veel kleine puzzeltjes op te lossen, totdat je op een gegeven moment bepaalde puzzels direct doorziet. Zie jij bijvoorbeeld de oplossing op de volgende puzzel?

Opgave_olympiade

Proefwerkpuzzel

Wiskundigen zijn vaak op zoek naar de kortste en gemakkelijkste oplossing. Vandaag kwam ik er bij het surveilleren achter dat deze strategie niet altijd werkt. Een van mijn taken was om te controleren of iedereen er was. Nu stonden er 20 leerlingen op mijn lijst en waren er 20 leerlingen in het lokaal. Daaruit concludeerde ik dat iedereen er was. Deze conclusie bleek achteraf echter onjuist. Er waren namelijk drie leerlingen die niet op mijn lijst stonden en er ontbraken dus ook drie leerlingen…

Tijdens dit uur surveilleren heb ik wel weer een leuk idee bedacht. Op mijn school moeten de leerlingen blijven zitten als ze klaar zijn met de toets totdat de bel gaat. Daarbij mogen ze een boek lezen, maar de meeste leerlingen vergeten een boek mee te nemen en vervelen zich dus. Dit is een ideaal moment voor een wiskundige puzzel. Voortaan neem ik daarom een wiskundige puzzel mee voor leerlingen die klaar zijn met hun toets. Maandag wordt het dit raadsel:

OppervlakteIsOmtrek

Een 4 bij 4 vierkant heeft de bijzondere eigenschap dat de omtrek (die is 4+4+4+4=16 bij dit vierkant) even groot is als de oppervlakte (4 \cdot 4 = 16). Zoek uit of er meer rechthoeken zijn waarvan de omtrek even groot is als zijn oppervlakte.